分析 (Ⅰ)直线l过点P(1,2),且与圆C相切,圆心到此直线的距离=半径,即可求直线l的方程;
(Ⅱ)设出M及Q的坐标,根据题意表示出N的坐标,利用平面向量的数量积运算法则化简已知的等式,用x与y分别表示出x0及y0,将表示出的x0及y0代入圆C的方程,得到x与y的关系式,再根据由已知,直线m∥y轴,得到x≠0,即可得出Q的轨迹方程;
(Ⅲ)由Q及R的坐标,表示出$\overrightarrow{RQ}$,利用平面向量模的计算法则表示出|$\overrightarrow{RQ}$|2,由圆C的方程表示出y2,将y2代入表示出的|$\overrightarrow{RQ}$|2中,得到关于x的二次三项式,配方后根据二次函数的性质,可得出|$\overrightarrow{RQ}$|2的最小值,开方即可得出|$\overrightarrow{RQ}$|的最小值,以及此时x的值.
解答 解:(Ⅰ)显然直线l不垂直于x轴,
设其方程为y-2=k(x-1),即kx-y-k+2=0…(2分)
设圆心到此直线的距离为d,则d=$\frac{|-k+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2,
得k=0或k=-$\frac{4}{3}$ …(4分)
故所求直线方程为y=2或4x+3y-10=0.…(5分)
(Ⅱ)设点M的坐标为(x0,y0),Q点坐标为(x,y),
则N点坐标是(x0,0),
∵$\overrightarrow{OQ}$=$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$,
∴(x,y)=(2x0,y0),即x0=$\frac{x}{2}$,y0=y,
又∵x02+y02=4,∴$\frac{{x}^{2}}{4}$+y2=4,(8分)
由已知,直线m∥y轴,得到x≠0,
∴Q点的轨迹方程是$\frac{{x}^{2}}{4}$+y2=4(x≠0);(9分)
(Ⅲ)设Q坐标为(x,y),R(1,0),
∴$\overrightarrow{RQ}$=(x-1,y),
∴|$\overrightarrow{RQ}$|2=(x-1)2+y2,(10分)
又$\frac{{x}^{2}}{4}$+y2=4(x≠0),
∴|$\overrightarrow{RQ}$|2=(x-1)2+y2=(x-1)2+4-$\frac{{x}^{2}}{4}$=$\frac{3(x-\frac{4}{3})^{2}+\frac{44}{3}}{4}$≥$\frac{11}{3}$,(12分)
∵x∈[-4,0)∪(0,4],
∴x=$\frac{4}{3}$时,|$\overrightarrow{RQ}$|取到最小值$\frac{\sqrt{33}}{3}$.(14分)
点评 此题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有:垂径定理,勾股定理,点到直线的距离公式,直线的点斜式方程,动点的轨迹方程,平面向量的数量积运算法则,以及二次函数的性质,利用了数形结合及转化的思想,熟练掌握定理及公式是解本题的关键.
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A. | $\frac{1}{4}$ | B. | $\frac{3}{8}$ | C. | $\frac{5}{8}$ | D. | $\frac{3}{4}$ |
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