Question

在△PAB中，已知A(-

6

，0)、B(

6

，0)，动点P满足|PA|=|PB|+4．
（I）求动点P的轨迹方程；
（II）设M（-2，0），N（2，0），过点N作直线l垂直于AB，且l与直线MP交于点Q，，试在x轴上确定一点T，使得PN⊥QT；
（III）在（II）的条件下，设点Q关于x轴的对称点为R，求

OP

•

OR

的值．

Answer 1

（I）∵|PA|-|PB|=4＜|AB|，∴动点P的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的右支除去其与x轴的交点．
设双曲线方程为

x2

a2

-

a2

b2

=1?(a＞0，b＞0)．
由已知，得

c= 6 2a=4

解得

c= 6 a=2

（2分）
∴b=

2

．（3分）
∴动点P的轨迹方程为

x2

4

-

a2

2

=1?(x＞2)．（4分）
注：未去处点（2，0），扣（1分）
（5）由题意，直线MP（6）的斜率存在且不为0，设直线l的方程x=2．
设MP的方程为y=k（x+2）．（5分）
∵点Q是l与直线MP的交点，∴Q（2，4k）．设P（x₀，y₀）
由

x2 4 - y2 2 =1 y=k(x+2)

整理得（1-2k²）x²-8k²x-（8k²+4）=0．
则此方程必有两个不等实根x₁=-2，x₂=x₀＞2∴1-2k²≠0．，且-2x0=-

8k2+4

1-2k2

．
∴y0=k(x0+2)=

4k

1-2k2

．∴P(

4k2+2

1-2k2

，

4k

1-2k2

)．（8分）
设T（t，0），要使得PN⊥QT，只需

PN

•

QT

=0
由N（2，0），

PN

=(

8k2

1-2k2

，-

4k

1-2k2

)，

QT

=(t-2，-4k)，
∴

PN

?

QT

=

1

1-2k2

[8k2(t-2)，-16k2]=0（10分）
∵k≠0，?∴t=4．此时

PN

≠0，?

QT

=≠0
∴所求T的坐标为（4，0）．（11分）
（III）由（II）知R（2，-4k），∴

OP

=(

4k2+2

1-2k2

，

4k

1-2k2

)，

OR

=(2，-4k)．
∴

OP

•

OR

=

4k2+2

1-2k2

×2+

4k

1-2k2

×(-4k)=

4-8k2

1-2k2

=4．
∴

OP

•

OR

=4．
说明其他正确解法按相应步骤给分．