Question

已知双曲线C：2x²-y²=25，点P坐标（1，2）．
（1）若过P的直线l与双曲线C仅有一个公共点，求直线l的斜率；
（2）是否存在被P平分的弦，若存在，求出弦所在直线的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,作图题,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设直线l的方程为y-2=k（x-1），联立方程消元可得（2-k²）x²+2k（k-2）x-（k²-4k+29）=0，讨论二次项系数是否是0，从而确定方程只有一个解时k的值，即直线l的斜率；
（2）假设直线l存在，则23k²+8k-58＜0，且-

2k(k-2)

2-k2

=2，解出即可．

解答： 解：（1）设直线l的方程为y-2=k（x-1），
即y=kx-k+2，与2x²-y²=25联立消去y可得，
（2-k²）x²+2k（k-2）x-（k²-4k+29）=0，
①若2-k²=0，即k=±

2

时，成立；
②若2-k²≠0，
则△=4k²（k-2）²+4（2-k²）（k²-4k+29）=0，
23k²+8k-58=0，
解得，k=

-4±15 6

23

，
故直线l的斜率为：±

2

，

-4±15 6

23

；
（2）假设直线l存在，
则由（1）知，23k²+8k-58＜0，
且-

2k(k-2)

2-k2

=2，
解得，k=1，
故弦所在直线的方程为y=x+1．

点评：本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系问题，属于难题．