Question

【题目】已知椭圆 + =1（a＞b＞0）右顶点与右焦点的距离为 ﹣1，短轴长为2 ． （Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过左焦点F的直线与椭圆分别交于A、B两点，若三角形OAB的面积为 ，求直线AB的方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由题意， ，解得a= ，c=1． 即椭圆方程为 =1
（Ⅱ）当直线AB与x轴垂直时，|AB|= ，此时S= 不符合题意，故舍掉；
当直线AB与x轴不垂直时，设直线 AB的方程为：y=k（x+1），代入消去y得：（2+3k2）x2+6k2x+（3k2﹣6）=0．
设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），则 ，所以|AB|= ．
原点到直线的AB距离d= ，
所以三角形的面积S= ．
由S= 可得k2=2，∴k=± ，
所以直线AB： =0或AB： =0
【解析】（Ⅰ）根据椭圆右顶点与右焦点的距离为 ，短轴长为 ，可得 ，由此，即可求得椭圆方程；（Ⅱ）当直线AB与x轴垂直时， ，此时 不符合题意；当直线AB与x轴不垂直时，设直线 AB的方程为：y=k（x+1），代入消去y得，进而可求三角形的面积，利用 ，即可求出直线AB的方程．
【考点精析】认真审题，首先需要了解椭圆的标准方程(椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：)．