Question

如图，在四棱锥 P-ABCD中，四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AB=PA=2，AD=1，E 是 PB 的中点．
（Ⅰ）若F是BC上任一点，求证：AE⊥PF；
（Ⅱ）设 AC、BD交于点O，求直线BO与平面AEC所成角的正弦值．

Answer 1

解：（Ⅰ）证明：因为四棱锥P-ABCD的底面是边长为2和1的矩形，
侧棱PA⊥平面ABCD，且PA=2
所以BC⊥AB，BC⊥PA，AB∩PA=A
∴BC⊥平面PAB．∴BC⊥AE．
又在△PAB中，∵PA=PB，E是PB的中点，
∴AE⊥PB．又BC∩PB=B，
∴AE⊥平面PBC，又PF?面PBC．
∴AE⊥PF．
（2）以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
则P（0，0，2），B（2，0，0），E（1，0，1），C（2，1，0），0（1，，0）．
∴．
设，是平面EAC的一个法向量，则由
得即
取x=1得．
而，∴．
设直线BO与平面AEC所成角为α，则sinα=．
∴直线BO与平面AEC所成角的正弦值为．
分析：（Ⅰ）由题意先证明线面垂直，进而得到线线垂直，即证明BC⊥平面PAB，然后证明AE⊥PF．
（Ⅱ）利用空间向量，由题意先建立空间直角坐标系，利用线面角与该直线的方向向量与平面的法向量之间的关系即可得求．
点评：本题考查了利用线面垂直证明线线垂直这样的转换证明的方法；利用空间向量的方法求解线面角的知识．考查空间想象能力，计算能力．