Question

【题目】在中，两直角边AB，AC的长分别为m，n（其中），以BC的中点O为圆心，作半径为r（）的圆O．

（1）若圆O与的三边共有4个交点，求r的取值范围；

（2）设圆O与边BC交于P，Q两点；当r变化时，甲乙两位同学均证明出为定值甲同学的方法为：连接AP，AQ，AO，利用两个小三角形中的余弦定理来推导；乙同学的方法为；以O为原点建立合适的直角坐标系，利用坐标法来计算.请在甲乙两位同学的方法中选择一种来证明该结论，定值用含m、n的式子表示.（若用两种方法，按第一种方法给分）

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】

（1）计算出圆与边、边相切时的半径，从而得到满足要求的r的取值范围；

（2）甲同学方法：连接，，，利用余弦定理，表示出、，然后通过计算，得到，乙同学方法：以点为原点，建立坐标系，设点，将用坐标表示，通过计算，得到.

（1）因为，故当圆与边相切时，

此时圆与的三边共有3个交点；

当圆与边相切时，，

此时圆与的三边共有5个交点，

故当时，圆与的三边共有4个交点.

（2）甲同学方法：连接，，，

在中，由余弦定理可得：①

在中，由余弦定理可得：②

由，得，

又，

故①②得：，

故

乙同学方法：以点为原点，建立如图所示直角坐标系，

易知

设点，则

．