Question

【题目】已知抛物线:（）上横坐标为4的点到焦点的距离为5．

（1）求抛物线的方程；

（2）设直线与抛物线交于不同两点，若满足，证明直线恒过定点，并求出定点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析，.

【解析】

（1）求出抛物线的准线方程，利用抛物线定义，可得的方程，即可得出抛物线的方程；

（2）方法一：设，，由得，进行坐标运算并化简整理，运用直线的斜率公式和直线方程，以及直线恒过定点的求法，可得所求定点坐标.

方法二：设，，设直线：（），与抛物线方程联立，由韦达定理得到根与系数的关系，而，则，代入坐标进行运算并解出，进行检验后可得直线方程，由此可得直线恒过定点以及定点坐标.

解：（1）抛物线:（）的准线方程为，

由抛物线的定义得，，

解得，

所以抛物线方程为.

（2）方法一：设，，，且，皆不为，

，

，即，

，

又，，

直线斜率为，

直线方程为：，

即为，

直线恒过定点，

直线恒过定点，定点坐标为.

方法二：设，，

由条件可知直线的斜率不为0，可设直线：（），

代入,得：，

，，，

，

，

即，

，

，

，符合，

直线：，则直线恒过定点，

直线恒过定点，定点坐标为.