Question

【题目】已知函数.

(1)求时，求的单调区间；

(2)讨论在定义域上的零点个数.

Answer 1

【答案】(1)增区间是，单调递减区间是.(2)当时，函数没有零点，当或时函数有1个零点；当时函数有2个零点.

【解析】试题分析：（1）将代入，求出函数的导数， ，得单调递增区间是，由，单调递减区间是；（2）通过讨论的范围，分别利用导数研究函数函数的单调性，求出函数的极值，从而得到的范围.

试题解析：(1) 在定义域是， .

当时， .

当时， ，当时，由，

所以单调递增区间是，单调递减区间是.

(2)∵.

(i)当时， ， 在区间上单调递减，

当时， ，当时， ，

所以在区间上只有一个零点.

(ii)当时， 恒成立，

所以在区间上没有零点.

(iii)当时，当时， ， 在区间上单调递增；

当时， ， 在区间上单调递减，

所以当时， 取极大值.

①当时，极大值，

在区间上有1个零点.

②当时，极大值，

在区间上没有零点.

③当时，极大值，

当时， ，当时， ，

所以在区间上有2个零点，

综上所述，当时，函数没有零点，当或时函数有1个零点；当时函数有2个零点.