Question

（2012•嘉定区三模）如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=2且AC⊥BC，直线A₁B与平面BCC₁B₁所成角的大小为arcsin

3

3

．
（1）求三棱锥B₁-A₁BC₁的体积；
（2）求点C到平面A₁BC₁的距离．

Answer 1

分析：（1）证明A₁C₁⊥平面BCC₁B₁，可得直线A₁B与平面BCC₁B₁所成角，求出三棱柱的棱长，利用三棱锥B₁-A₁BC₁的体积等于三棱锥A₁-B₁BC₁的体积，可得结论；
（2）证明则B₁C⊥平面A₁BC₁，即可求点C到平面A₁BC₁的距离．

解答：解：（1）∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，
∴A₁C₁⊥平面BCC₁B₁，
∵直线A₁B与平面BCC₁B₁所成角的大小为arcsin

3

3

∴∠A₁BC₁=arcsin

3

3

∵AC=BC=2，∴A₁B=2

3

，∴BC₁=2

2

，∴CC₁=2
∵三棱锥B₁-A₁BC₁的体积等于三棱锥A₁-B₁BC₁的体积
∴三棱锥B₁-A₁BC₁的体积等于

1

3

×

1

2

×2×2×2=

4

3

；
（2）连接B₁C，则B₁C⊥平面A₁BC₁，
∵CBB₁C₁是正方形
∴点C到平面A₁BC₁的距离是

2

．

点评：本题考查三棱锥体积的计算，考查线面角，考查点到面的距离的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．