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已知定义在R上的函数f(x)满足:对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)-1,已知f(1)=2
(Ⅰ)求f(0),f(-1)的值;
(Ⅱ)若x>0时,恒有f(x)>1.判断函数f(x)在R上的单调性,并证明.
(Ⅲ)若f(1+m)<f(1-2m),求m的范围.
考点:抽象函数及其应用
专题:函数的性质及应用
分析:(Ⅰ)利用赋值法即可求f(0),f(-1)的值;
(Ⅱ)根据函数单调性的定义结合抽象函数的关系即可判断函数f(x)在R上的单调性,并证明.
(Ⅲ)根据函数的单调性即可解不等式f(1+m)<f(1-2m).
解答: 解:(Ⅰ)令x=y=0,则f(0)=f(0)+f(0)-1,
即f(0)=1,
令x=1,y=-1得f(0)=f(1)+f(-1)-1=1,
即f(-1)=2-f(1)=2-2=0;
(Ⅱ)函数f(x)在R上的单调性递增.
证明:设x1>x2,则x1-x2>0,
则f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)-f(x2)=f(x1-x2)+f(x2)-1-f(x2)=f(x1-x2)-1
∵x>0时,恒有f(x)>1.
∴f(x1-x2)>1,即f(x1)-f(x2)=f(x1-x2)-1>0,
即函数f(x)在R上的单调递增.
(Ⅲ)∵函数f(x)在R上的单调递增,
∴若f(1+m)<f(1-2m),
则1+m<1-2m,
即m<0,
故m的范围是(-∞,0).
点评:本题主要考查抽象函数的应用,利用赋值法是解集抽象函数的基本方法,结合函数单调性的定义是判断函数单调性的关键.
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