Question

（1）已知f（x）=-2asin（2x+

π

6

）+2a+b，x∈[

π

4

，

3π

4

]，是否存在常数a，b∈Q时，使得f（x）的值域为[-3，

3

-1]？若存在，求出a，b的值，若不存在，说明理由．
（2）若关于x的方程-2sin²x+sin（π+x）+a²-2a+2=0在[-

π

6

，

π

6

]内有实数根，求实数a的范围．

Answer 1

分析：（1）根据函数的定义域，得sin（2x+

π

6

）∈[-1，

3

2

]，然后分a的正负进行讨论，建立关于a、b的方程组，解之可得存在a=-1，b=1，符合题意；
（2）将原方程整理，得a²-2a=2（sinx+

1

4

）²-

17

8

，由当x∈[-

π

6

，

π

6

]时sinx∈[-

1

2

，

1

2

]，从而得到2（sinx+

1

4

）²-

17

8

的最大最小值，得原方程在[-

π

6

，

π

6

]内有实数根，则a²-2a∈[-

17

8

，-1]，再解关于a的不等式即可得到实数a的范围．

解答：（1）∵x∈[

π

4

，

3π

4

]，则2x+

π

6

∈[

2π

3

，

5π

3

]
∴sin（2x+

π

6

）∈[-1，

3

2

]---------（3分）
①当a＞0时，则

2a+2a+b= 3 -1 - 3 a+2a+b=-3

，解得a=1，b=

3

-5，此时b∉Q舍去；
②当a＜0时，则

2a+2a+b=-3 - 3 a+2a+b=-1+ 3

，解得a=-1，b=1，符合题意
综上所述，存在a=-1，b=1，使f（x）的值域为[-3，

3

-1]．----------------（7分）
（2）方程方程-2sin²x+sin（π+x）+a²-2a+2=0，
化简为：a²-2a=2（sinx+

1

4

）²-

17

8

，x∈[-

π

6

，

π

6

]
∵sinx在x∈[-

π

6

，

π

6

]的取值范围为[-

1

2

，

1

2

]
∴2（sinx+

1

4

）²-

17

8

的最大值为-1，最小值为-

17

8

因此，若原方程在[-

π

6

，

π

6

]内有实数根，则a²-2a∈[-

17

8

，-1]
解不等式组-

17

8

≤a²-2a≤-1，得a=1，
即关于x的方程-2sin²x+sin（π+x）+a²-2a+2=0在[-

π

6

，

π

6

]内有实数根时，实数a的范围是{1}．

点评：本题给出三角函数表达式，讨论使得函数值域为已知区间的参数取值范围．着重考查了三角函数的图象与性质、三角函数的最值和二次函数在闭区间上的值域等知识，属于中档题．