Question

（2005•南汇区一模）已知数列{a_n}的前n项和S_n=50n-n²（n∈N^*）
（1）求证{a_n}是等差数列．
（2）设b_n=|a_n|，求数列{b_n}的前n项和T_n
（3）求

lim n→∞

（

Sn

Tn

）的值．

Answer 1

分析：（1）a₁=S₁=49，因此，当n≥2时有a_n=S_n-S_n-1=50n-n²-50（n-1）+（n-1）²=51-2n，所以a_n+1-a_n=-2，由此能够证明{a_n}是等差数列．
（2）若a_n=51-2n＞0，则n＜25.5．设T_n=b₁+b₂+…+b_n，当n≤25时，则b_n=a_n，此时，T_n=S_n=50n-n²；当n≥26时，b_n=-a_n，
而b₂₆+b₂₇+…+b_n=-（a₂₆+a₂₇+…+a_n）=-（S_n-S₂₅）．由此能求出数列{b_n}的前n项和T_n．
（3）

lim

n→∞

（

Sn

Tn

）=

l i m n→∞

（

50n-n2

n2-50n+1250

）=-1．

解答：解：（1）a₁=S₁=49，
因此，当n≥2时有a_n=S_n-S_n-1=50n-n²-50（n-1）+（n-1）²=51-2n
所以a_n=51-2n（n∈N^*）（3分）
∴a_n+1-a_n=-2，
故{a_n}是首项为49，公差为-2的等差数列（6分）
（2）若a_n=51-2n＞0，
则n＜25.5（7分）
设T_n=b₁+b₂+…+b_n，
当n≤25时，
则b_n=a_n，
此时，T_n=S_n=50n-n²；    （9分）
当n≥26时，b_n=-a_n，
而b₂₆+b₂₇+…+b_n=-（a₂₆+a₂₇+…+a_n）=-（S_n-S₂₅）
所以 T_n=S₂₅+S₂₅-S_n=2S₂₅-S_n=1250-（50n-n²）=n²-50n+1250
综合所得 Tn=

50n-n2，n≤25 n2-50n+1250，n＞25

(n∈N*)（14分）
（3）

lim

n→∞

（

Sn

Tn

）
=

l i m n→∞

（

50n-n2

n2-50n+1250

）
=-1  （16分）

点评：本题考查数列的极限的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意等差数列运算公式的灵活运用．