Question

命题p：幂函数y=x³在（-∞，0）上单调递减；命题q：已知函数f（x）=x³-3x²+m，若a，b，c∈[1，3]，且f（a），f（b），f（c）能构成一个三角形的三边长，则4＜m＜8．则下列说法正确的是（　　）

• A、p∧q为真命题
• B、p∧q为假命题
• C、（￢p）∧q为真命题
• D、p∧（￢q）为真命题

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用

分析：本题可以先判断命题p，q的真假，再根据复合命题真假的判断规律，判断出复合命题的真假，得到本题结论．

解答： 解：∵幂函数y=x³在（-∞，+∞）上单调递增，
∴命题p（幂函数y=x³在（-∞，0）上单调递减）是假命题；
∵f（a），f（b），f（c）能构成一个三角形的三边长，
∴f（a）＞0．f（b）＞0．f（c）＞0，且

f(a)+f(b)＞f(c) f(b)+f(c)＞f(a) f(c)+f(a)＞f(b)

．
又∵函数f（x）=x³-3x²+m，若a，b，c∈[1，3]，
∴当x∈[1，3]时，f（a）+f（b）≥2[f（x）]_min＞[f（x）]_max≥f（c）．
∴2[f（x）]_min＞[f（x）]_max．
∵f′（x）=3x²-6x=3x（x-2），
∴当1＜x＜2时，f′（x）＜0，
当2＜x＜3时，f′（x）＞0，
∵f（1）=-2+m，f（2）=-4+m，f（3）=m，
∴m-4＞0，且2（m-4）＞m，
∴m＞8．
∴命题q（已知函数f（x）=x³-3x²+m，若a，b，c∈[1，3]，且f（a），f（b），f（c）能构成一个三角形的三边长，则4＜m＜8．）是假命题．
∴p∧q为假命题．
故选B．

点评：本题考查了命题真假的判断和复合命题真假的判断规律，还考查了用导函数研究函数最值，本题难度适中，属于中档题．