Question

3．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左右焦点为F₁，F₂，P为椭圆上一点，且$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$的最小值是2c²，其中$c=\sqrt{{a^2}-{b^2}}$．则椭圆的离心率是（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 设|PF₁|=m，|PF₂|=n，∠F₁PF₂=θ.$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$=mncosθ≥2c²，在△PF₁F₂中，由余弦定理可得：4c²=m²+n²-2mncosθ，再利用椭圆的定义、基本不等式的性质即可得出．

解答 解：设|PF₁|=m，|PF₂|=n，∠F₁PF₂=θ．
$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$=mncosθ≥2c²，
在△PF₁F₂中，由余弦定理可得：4c²=m²+n²-2mncosθ，m+n=2a，
∴2mncosθ≥2mn-4c²=4c²，当且仅当m=n=a时取等号，
∴a²=4c²，
解得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
故选：A．

点评 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、余弦定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．