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    【题目】如图，四边形为正方形，平面，，.

    （1）证明：平面平面；

    （2）求二面角的余弦值.

    【答案】（1）证明见解析.（2）

    【解析】

    以为坐标原点，线段的长为单位长，射线为轴的正半轴建立空间直角坐标系.

    （1）求出相应点的坐标，根据线面垂直的判断定理、面面垂直的判定定理，结合空间向量数量积的坐标运算公式进行证明即可；

    （2）利用空间向量夹角公式，结合平面法向量的求法进行求解即可.

    如图，

    以为坐标原点，线段的长为单位长，射线为轴的正半轴建立空间直角坐标系.

    （1）证明：依题意有，，，

    则，，.

    所以，.

    即，.

    故平面.

    又平面，

    所以平面平面.

    （2）依题意有，，.

    设是平面的法向量，则

    ，即.

    因此可取.

    设是平面的法向量，则

    ，可取，所以.

    故二面角的余弦值为.

    练习册系列答案
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    【题目】某网购平台为了解某市居民在该平台的消费情况，从该市使用其平台且每周平均消费额超过100元的人员中随机抽取了100名，并绘制如图所示频率分布直方图，已知中间三组的人数可构成等差数列.

    （1）求的值；

    （2）分析人员对100名调查对象的性别进行统计发现，消费金额不低于300元的男性有20人，低于300元的男性有25人，根据统计数据完成下列列联表，并判断是否有的把握认为消费金额与性别有关？

    （3）分析人员对抽取对象每周的消费金额与年龄进一步分析，发现他们线性相关，得到回归方程.已知100名使用者的平均年龄为38岁，试判断一名年龄为25岁的年轻人每周的平均消费金额为多少.（同一组数据用该区间的中点值代替）

    列联表

    男性

    女性

    合计

    消费金额

    消费金额

    合计

    临界值表：

    0.050

    0.010

    0.001

    3.841

    6.635

    10.828

    ，其中

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    【题目】已知球的半径为3，该球的内接正三棱锥的体积最大值为，内接正四棱锥的体积最大值为，则的值为__________．

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    （2）若二面角的大小为，求的长度．

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    【题目】为了丰富学生的课外文化生活，某中学积极探索开展课外文体活动的新途径及新形式，取得了良好的效果.为了调查学生的学习积极性与参加文体活动是否有关，学校对300名学生做了问卷调查，列联表如下：

    参加文体活动

    不参加文体活动

    合计

    学习积极性高

    180

    学习积极性不高

    60

    合计

    300

    已知在全部300人中随机抽取1人，抽到学习积极性不高的学生的概率为.

    （1）请将上面的列联表补充完整；

    （2）是否有的把握认为学习积极性高与参加文体活动有关？请说明你的理由；

    （3）若从不参加文体活动的同学中按照分层抽样的方法选取5人，再从所选出的5人中随机选取2人，求至少有1人学习积极性不高的概率.

    附：

    0.15

    0.10

    0.05

    0.025

    0.010

    0.005

    0.001

    2.072

    2.706

    3.841

    5.024

    6.635

    7.879

    10.828

    ，其中.

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    【题目】已知椭圆过点，且其离心率为，过坐标原点作两条互相垂直的射线与椭圆分别相交于，两点.

    （1）求椭圆的方程；

    （2）是否存在圆心在原点的定圆与直线总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在，请说明理由.

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    【题目】某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、下周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘.由于下雨会影响药材品质，基地收益如下表所示：

    周一

    无雨

    无雨

    有雨

    有雨

    周二

    无雨

    有雨

    无雨

    有雨

    收益

    万元

    万元

    万元

    万元

    若基地额外聘请工人，可在周一当天完成全部采摘任务.无雨时收益为万元；有雨时，收益为万元.额外聘请工人的成本为万元.

    已知下周一和下周二有雨的概率相同，两天是否下雨互不影响，基地收益为万元的概率为.

    （Ⅰ）若不额外聘请工人，写出基地收益的分布列及基地的预期收益；

    （Ⅱ）该基地是否应该外聘工人，请说明理由.

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    【题目】给定正整数，将分拆成若干个互异正整数的和，这些正整数的乘积记为.对所有不同的分法，求的最大值.

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    （1）求出的参数方程;

    （2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，设是曲线上的一个动点，求点到直线距离的最小值．

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