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(2012•济南三模)某旅游景点预计2013年1月份起前x个月的旅游人数的和p(x)(单位:万人)与x的关系近似地满足p(x)=
1
2
x(x+1)•(39-2x),(x∈N*,且x≤12).已知第x月的人均消费额q(x)(单位:元)与x的近似关系是q(x)=
35-2x(x∈N*,且1≤x≤6)
160
x
(x∈N*,且7≤x≤12)

(I)写出2013年第x月的旅游人数f(x)(单位:人)与x的函数关系式;
(II)试问2013年第几月旅游消费总额最大,最大月旅游消费总额为多少元?
分析:(Ⅰ)根据所给的前x个月旅游人数的和,可以得到第x个月的旅游人数,注意验证第一个月的旅游人数符合表示式.
(Ⅱ)根据所给的表示式,写出第x月旅游消费总额,是一个分段函数,求出分段函数的最大值,把两个最大值进行比较,得到最大月旅游消费总额.
解答:解:(Ⅰ)当x=1时,f(1)=p(1)=37,
当2≤x≤12,且x∈N*时,
f(x)=P(x)-P(x-1)=
1
2
x(x+1)(39-2x)-
1
2
(x-1)x(41-2x)=-3x2+40x.…(5分)
验证x=1符合f(x))=-3x2+40x(x∈N*,且1≤x≤12))…(6分)
(Ⅱ)第x月旅游消费总额为g(x)=
(-3x2+40x)(35-2x),1≤x≤6
(-3x2+40x)×
160
x
,7≤x≤12
(x∈N*
即g(x)=
6x3-185x2+1400x,1≤x≤6
-480x+6400,7≤x≤12
(x∈N*)…(8分)
当1≤x≤6,且x∈N*时,g′(x)=18x2-370x+1400,令g′(x)=0,解得x=5,x=
140
9
(舍去).
∴当1≤x<5时,g′(x)>0,当5<x≤6时,g′(x)<0,
∴当x=5时,g(x)max=g(5)=3125(万元).…(10分)
当7≤x≤12,且x∈N*时,g(x)=-480x+6400是减函数,∴当x=7时,g(x)max=g(7)=3040(万元),
综上,2013年第5月份的旅游消费总额最大,最大月旅游消费总额为3125万元.…(12分)
点评:本题考查函数模型的选择和导数的应用,本题解题的关键是写出分段函数,要分别求出两段函数的最大值,进行比较.
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(2012•济南三模)经市场调查,某旅游城市在过去的一个月内(以30天计),第t天(1≤t≤30,t∈N﹢)的旅游人数f(t) (万人)近似地满足f(t)=4+
1t
,而人均消费g(t)(元)近似地满足g(t)=120-|t-20|.
(1)求该城市的旅游日收益w(t)(万元)与时间t(1≤t≤30,t∈N)的函数关系式;
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(Ⅰ)求证:BC∥平面EFG;
(Ⅱ)求证:DH⊥平面AEG;
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(2012•济南三模)已知直线l:y=x+1,圆O:x2+y2=
3
2
,直线l被圆截得的弦长与椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的短轴长相等,椭圆的离心率e=
3
2

(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过点M(0,-
1
3
)的动直线l交椭圆C于A、B两点,试问:在坐标平面上是否存在一个定点T,使得无论l如何转动,以AB为直径的圆恒过定点T?若存在,求出点T的坐标;若不存在,请说明理由.

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(2012•济南三模)设函数f(x)=x2-2(-1)klnx(k∈N*),f(x)表示f(x)导函数.
(I)求函数f(x)的单调递增区间;
(Ⅱ)当k为偶数时,数列{an}满足a1=1,anf(an)
=a
2
n+1
-3
.证明:数列{
a
2
n
}中不存在成等差数列的三项;
(Ⅲ)当k为奇数时,设bn=
1
2
f
(n)-n
,数列{bn}的前n项和为Sn,证明不等式(1+bn)
1
bn+1
e对一切正整数n均成立,并比较S2012-1与ln2012的大小.

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