Question

若函数f（x）为奇函数，当x≥0时，f（x）=2x²-4x（如图）．
（1）求函数f（x）的表达式，并补齐函数f（x）的图象；
（2）用定义证明：函数y=f（x）在区间[1，+∞）上单调递增．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 任取x∈（-∞，0），则-x∈（0，+∞），由f（x）为奇函数和已知条件，求得f（x）=-f（x）的解析式，从而得到在R上的解析式，作出函数图象．
（Ⅱ）任取1≤x₁＜x₂，证得f（x₁）-f（x₂）=（2x12-4x₁）-（2x22-4x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），可得函数 y=f（x）在区间[1，+∞）上单调递增．

解答：解：（Ⅰ） 任取x∈（-∞，0），则-x∈（0，+∞），
由f（x）为奇函数，
则f（x）=-f（x）=-[2（-x）²-4（-x）]=-2x²-4x．…（1分）
综上所述，f（x）=

2x2-4x ， x≥0 -2x2-4x ，x＜0

．…（2分）
如图所示：（4分）
（Ⅱ）任取1≤x₁＜x₂，…（5分）
则f（x₁）-f（x₂）=（2x12-4x₁）-（2x22-4x₂） …（6分）
=2（x12-x22）-4（x₁-x₂）=2（x₁-x₂）[（x₁+x₂）-2]．…（7分）
∵x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，x₁+x₂ ＞2，∴（x₁+x₂）-2＞0，
∴2（x₁-x₂）[（x₁+x₂）-2]＜0，∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即 f（x₁）＜f（x₂），
∴函数 y=f（x）在区间[1，+∞）上单调递增．…（8分）

点评：本题主要考查函数的奇偶性和单调性的判断和证明，作函数的图象，属于中档题．