【题目】先阅读下列题目的证法,再解决后面的问题.
已知a1,a2∈R,且a1+a2=1,求证:a+a≥.
证明:构造函数f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2,则f(x)=2x2-2(a1+a2)x+a+a=2x2-2x+a+a.
因为对一切x∈R,恒有f(x)≥0,
所以Δ=4-8(a+a)≤0,从而得a+a≥.
(1)若a1,a2,…,an∈R,a1+a2+…+an=1,请由上述结论写出关于a1,a2,…,an的推广式;
(2)参考上述证法,请对你推广的结论加以证明.
【答案】(1)若a1,a2,…,an∈R,a1+a2+…+an=1,则a+a+…+a≥;(2)见解析.
【解析】
分析:(1)由已知中,求证及整个式子的证明过程,我们根据归纳推理可以得到一个一般性公式,若a1,a2,…,an∈R,a1+a2+…+an=1,则;
(2)观察已知中的证明过程,我们可以类比对此公式进行证明.
详解:(1)解 若a1,a2,…,an∈R,a1+a2+…+an=1,
则.
(2)证明:构造函数f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2+…+(x-an)2.
即f(x)=nx2-2(a1+a2+…+an)x+a+a+…+a
=nx2-2x+a+a+…+a,
因为对一切x∈R,恒有f(x)≥0,
所以Δ=4-4n(a+a+…+a)≤0,
从而得.
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【题目】近年来,“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便,某共享单车公司“Mobike”计划在甲、乙两座城市共投资120万元,根据行业规定,每个城市至少要投资40万元,由前期市场调研可知:甲城市收益P与投入a(单位:万元)满足,乙城市收益Q与投入a(单位:万元)满足,设甲城市的投入为x(单位:万元),两个城市的总收益为(单位:万元).
(1)求及定义域;
(2)试问如何安排甲、乙两个城市的投资,才能使总收益最大?
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【题目】已知椭圆C: (a>b>0)的一个顶点为A(2,0),离心率为.直线y=k(x-1)与椭圆C交于不同的两点M,N.
(1)求椭圆C的方程;
(2)当△AMN的面积为时,求k的值.
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【题目】某班运动队由足球运动员18人,篮球运动员12人、羽毛球运动员6人组成(每人只参加一项),现从这些运动员中抽取个容量为的样本,若分别采用系统抽样法和分层抽样法,则都不用剔除个体;当抽取样本的容量为时,若采用系统抽样法,则需要剔除一个个体,则样本容量 ( )
A. 6B. 7C. 12D. 18
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【题目】已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直,体积为 ,底面是边长为 的正三角形,若P为底面A1B1C1的中心,则PA与平面A1B1C1所成角的大小为( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】抛物线C1: 的焦点与双曲线C2: 的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线,则p=( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系,对该校200名高三学生平均每天课外体育锻炼时间进行调查,如表:(平均每天锻炼的时间单位:分钟)
平均每天锻炼的时间/分钟 | ||||||
总人数 | 20 | 36 | 44 | 50 | 40 | 10 |
将学生日均课外体育锻炼时间在的学生评价为“课外体育达标”.
(1)请根据上述表格中的统计数据填写下面的列联表;
课外体育不达标 | 课外体育达标 | 合计 | |
男 | |||
女 | 20 | 110 | |
合计 |
(2)通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过的前提下认为“课外体育达标”性别有关?
参考公式,其中
0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【题目】设是某港口水的深度(单位:)关于时间的函数,其中.下表是该港口某一天从时至时记录的时间与水深的关系:
t | 0 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 |
y | 5.0 | 7.5 | 5.0 | 2.5 | 5.0 | 7.5 | 5.0 | 2.5 | 5.0 |
经长期观察,函数的图像可以近似看成函数的图像.最能近似表示表中数据间对应关系的函数是__________.
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