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设定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足:①对任意正实数a、b都有f(a·b)= f(a)+ f(b)-p,其中p为正常数;②f(2)=p-1;③当x>1时总有f(x)<p.

(1)求f(1)及f()的值(写成关于p的表达式);

(2)求证:f(x)在(0,+∞)上是减函数;

(3)设an=f(2n),n∈N,求数列{an}的通项公式an(关于p的表达式).

(1)解:取a=b=1,则f(1)=2f(1)-p,故f(1)=p.

又f(1)=f(2·)=f(2)+f()-p,且f(2)=p-1,得f()=f(1)-f(2)+p=p-(p-1)+p=p+1.

(2)证明:设0<x1<x2,

∴f(x2)-f(x1)=f(·x1)-f(x1)

=[f()+f(x1)-p]-f(x1)

=f()-p.

依0<x1<x2,可得>1.

又依据当x>1时,总有f(x)<p成立,可得f()<p.

∴f(x2)-f(x1)<0.故f(x)在(0,+∞)上是减函数.

(3)解:∵an=f(2n),

∴a n+1=f(2n+1)=f(2·2n)=f(2)+f(2n)-p=(p-1)+an-p=an-1.

∴a n+1-an=-1.

又a1=f(2)=p-1,∴数列{an}是以a1=p-1为首项,公差为-1的等差数列.

∴an=a1+(n-1)d=(p-1)-(n-1)=-n+p.

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1
3n
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2
3n
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