Question

13．已知定义域为R的函数f（x），满足对任意x∈R，都有f（1+x）=f（1-x），且f（-x）=f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=x，若函数g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lgx}&{（x＞0）}\\{\frac{-2}{x-1}}&{（x≤0）}\end{array}\right.$，则函数y=f（x）-g（x）在区间[-11，11]上的零点的个数是（　　）

• A． 18
• B． 19
• C． 20
• D． 21

Answer 1

分析 根据条件关系，求出函数f（x）的表达式，作出f（x）与g（x）的图象，利用数形结合判定两个函数图象的交点即可的结论．

解答 解：令x=x+1，由f（1+x）=f（1-x），
得到f（x+2）=f（1-x-1）=f（-x），
∵f（-x）=f（x），
∴f（x+2）=f（x），
∴f（x）为以2为周期的周期函数，
∵x∈[0，1]时，f（x）=x，
当x∈[-1，0]，f（x）=-x，
作出函数f（x）与g（x）的图象，
由图象可知，两个图象有19个交点，
即函数y=f（x）-g（x）在区间[-11，11]上零点的个数是19个．
故选：B．

点评 此题考查了函数与方程的知识，考查了转化与化归和数形结合的数学思想，由函数的三条件基本性质进行分解，从而确定出函数f（x）在[-11，11]上的分段函数解析式，作出函数图象是本题的突破点．难度较大．