Question

（2010•石家庄质检二）在平面区域D中任取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率P（A）=

d的面积

D的面积

．在区间[-1，1]上任取两值a、b，方程x²+ax+b=0有实数根的概率为P，则（　　）

• A．0＜P＜

  1

  2

• B．

  1

  2

  ＜P＜

  9

  16

• C．

  9

  16

  ＜P＜

  16

  25

• D．

  16

  25

  ＜P＜1

Answer 1

分析：本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是在区间[-1，1]上任取两个数a和b，写出事件对应的集合，做出面积，满足条件的事件是关于x的方程x²+ax+b²=0有实数根，根据二次方程的判别式写出a，b要满足的条件，写出对应的集合，做出面积，得到概率．

解答：解：由题意，a、b组成的平面区域是由x=±1，y=±1组成的正方形，
其面积为4，
要保证方程x²+ax+b=0有实数根，
则有△=a²-4b≥0，
建立平面直角坐标系如图，
则a²-4b≥0表示的区域即为图中阴影部分，其面积大于面积为2的矩形的面积，而小于两个全等的直角梯形的面积和，其面积的取值范围是（2，

9

4

）
（其中小三角形AOD和BOC的面积和为

1

4

×

1

2

×2=

1

4

），
∴由题目中的新定义知所求的概率P=

S阴

S全

∈（

1

2

，

9

16

），
故选B．

点评：本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系、几何概型．几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P=

N(A)

N

求解．