Question

15．已知$\frac{π}{2}$＜α＜π，tanα-$\frac{1}{tanα}$=-$\frac{3}{2}$．
（1）求tanα的值；
（2）求$\frac{cos（\frac{3π}{2}+α）-cos（π-α）}{sin（\frac{π}{2}-α）}$的值；
（3）求2sin²α-sinαcosα的值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得tanα的方程，结合角的范围解方程可得tanα；
（2）由诱导公式化简和弦化切可得原式=tanα+1，代值计算可得；
（3）弦化切可得原式=2sin²α-sinαcosα=$\frac{2si{n}^{2}α-sinαcosα}{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}$=$\frac{2ta{n}^{2}α-tanα}{ta{n}^{2}α+1}$，代值计算可得．

解答 解：（1）方程tanα-$\frac{1}{tanα}$=-$\frac{3}{2}$可化为2tan²α+3tanα-2=0，
解方程可得tanα=-2或tanα=$\frac{1}{2}$，
∵$\frac{π}{2}$＜α＜π，∴tanα＜0，∴tanα=-2；
（2）由诱导公式化简可得$\frac{cos（\frac{3π}{2}+α）-cos（π-α）}{sin（\frac{π}{2}-α）}$
=$\frac{sinα+cosα}{cosα}$=tanα+1=-1；
（3）2sin²α-sinαcosα=$\frac{2si{n}^{2}α-sinαcosα}{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}$
=$\frac{2ta{n}^{2}α-tanα}{ta{n}^{2}α+1}$=$\frac{2×（-2）^{2}-（-2）}{（-2）^{2}+1}$=2．

点评 本题考查三角函数化简求值，涉及同角三角函数基本关系和切化弦的思想，属中档题．