Question

【题目】已知圆，圆过作圆的切线，切点为（在第二象限）.

（1）求的正弦值；

（2）已知点，过点分别作两圆切线，若切线长相等，求关系；

（3）是否存在定点，使过点有无数对相互垂直的直线满足，且它们分别被圆、圆所截得的弦长相等？若存在，求出所有的点；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在且其坐标为或者.

【解析】

（1）连接，利用可求的正弦值.

（2）利用直线与圆相切求出过且与两圆相切的切线长，整理后可得所求的关系式.

（3）设的斜率为且，利用、分别被圆、圆所截得的弦长相等且两圆半径相等得到对无穷多个恒成立，整理后可得关于的方程组，从而可求的坐标.

（1）连接，因为与相切于，故.

又，

在中，，故.

（2）因为过作两圆的切线且切线长相等，

故，整理得到，

故的关系为.

（3）设的斜率为且，

则，，

因为它们分别被圆、圆所截得的弦长相等且两圆半径相等，

所以到直线的距离等于到直线的距离，

故即对无穷多个恒成立，

所以对无穷多个恒成立.

故，解得或者.

故存在且其坐标为或者.