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【题目】已知椭圆C: + =1(a>b>0)的离心率为 ,过椭圆C的右焦点且垂直于x轴的直线与椭圆交于A,B两点,且|AB|=
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)过点(1,0)的直线l交椭圆C于E,F两点,若存在点G(﹣1,y0)使△EFG为等边三角形,求直线l的方程.

【答案】解:(Ⅰ)由椭圆的离心率e= = ,①由椭圆的通径丨AB丨= = ,② 由a2=b2+c2 , ③
解得:a=2 ,b=
∴椭圆的标准方程:
(Ⅱ)设直线l:x=ty+1,E(x1 , y1),F(x2 , y2),
易知:t=0时,不满足,故t≠0,
,整理得:(t2+4)y2+2ty﹣7=0,
显然△=4t2+28(t2+4)>0,
∴y1+y2=﹣ ,y1y2=﹣
于是x1+x2=t(y1+y2)+2=
故EF的中点D( ,﹣ ),
由△EFG为等边三角形,则丨GE丨=丨GF丨,
连接GD,则kGDkEF=﹣1,
=﹣1,整理得y0=t+
则G(﹣1,t+ ),
由△EFG为等比三角形,则丨GD丨= 丨EF丨,丨GD丨2= 丨EF丨2
∴( +1)2+(t+ 2= (1+t2)[(﹣ )2﹣4×(﹣ )],
整理得:( +1)2=
即( 2= ,解得:t2=10,则t=±
∴直线l的方程x=± y+1,即y=± (x﹣1).
直线l的方程y=± (x﹣1).

【解析】(Ⅰ)利用椭圆的离心率,椭圆的通径公式,及a2=b2+c2及可求得a和b的值,求得椭圆方程;(Ⅱ)设直线l的方程,代入椭圆方程,根据韦达定理及中点坐标公式求得D点坐标,根据等边三角形的性质,求得G点坐标,由丨GD丨= 丨EF丨,即可取得t的值,即可求得直线l的方程.
【考点精析】认真审题,首先需要了解椭圆的标准方程(椭圆标准方程焦点在x轴:,焦点在y轴:).

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用煤(吨)

用电(千瓦)

产值(万元)

生产一吨

甲种产品

7

2

8

生产一吨

乙种产品

3

5

11

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8

9

7

9

7

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