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    【题目】求1，2，···，n的排列的个数，使得对正整数k=1，2，···，n成立。

    【答案】见解析

    【解析】

    先考虑n为偶数的情形.设n =2m( m为正整数).对k=1，2,···,2m，由

    及为正整数，知

    或 ①

    注意到，.

    故， ②

    ， ③

    其中，的取法是唯一的.

    事实上，注意到，两两不等，不断地利用式②，知只能取2m.

    进而，只能取2m -1.以此类推得

    .

    类似地，由式③知的取法也是唯一的.

    因此，当n=2m时，符合题意的排列恰有1个.

    再考虑n为大于1的奇数的情形.设n =2m +1(m为正整数).类似于偶数的情形知

    ④

    ， ⑤

    且.

    不妨设.

    首先，知的取法唯一.

    事实上，注意到，两两不等，不断地利用式⑤，知只能取2，只能取3.以此类推知.

    练习册系列答案
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