Question

14．已知命题p：存在x∈（-∞，1）使得x²-4x+m=0成立，命题q：方程$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{2m+8}$=1表示焦点在x轴上的椭圆．
（1）若p是真命题，求实数m的取值范围；
（2）若p或q是假命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数的单调性求出m的范围即可；（2）分别求出p，q为假时的m的范围，取交集即可．

解答 解：（1）命题p：存在x∈（-∞，1）使得x²-4x+m=0成立，
令f（x）=x²-4x+m，则f（1）=m-3＜0，解得：m＜3，
故p为真时：m∈（-∞，3）；
（2）p真：m＜3，
命题q：方程$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{2m+8}$=1表示焦点在x轴上的椭圆．
q为真时：m²＞2m+8＞0，解得：m＞4或-8＜m＜-2，
若p或q是假命题，则p假q假，
$\left\{\begin{array}{l}{m≥3}\\{-2≤m≤4或m≤-8}\end{array}\right.$，解得：3≤m≤4
∴m的取值范围为：[3，4]．

点评 本题考查了椭圆的性质，考查复合命题的判断，是一道基础题．