Question

已知圆C过点P（1，1），且与圆（x+3）²+（y+3）²=r²（r＞0）关于直线x+y+3=0对称．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）过点P作两条直线分别与圆C相交于点A、B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，判断直线OP与AB是否平行，并请说明理由．

Answer 1

分析：（1） 设出对称圆的方程，根据点和它关于直线（对称轴）的对称点与轴垂直且中点在轴上，求出圆心坐标，再把
圆经过的点的坐标代入，可求半径，从而得到圆C的方程．
（2）把PA所在的直线方程代入圆的方程，求得点A的坐标，同理求的B的坐标，据斜率公式求得AB斜率，将它和
直线OP的斜率作对比，斜率相同，且两直线不重合，则得直线OP与AB平行．

解答：解：（1）依题意，可设圆C的方程为（x-a）²+（y-b）²=r²，且a、b满足方程组

a-3 2 + b-3 2 +3=0 b+3 a+3 ×(-1)=-1.

，
由此解得a=b=0．又因为点P（1，1）在圆C上，所以，r²=（1-a）²+（1-b）²=（1+0）²+（1+0）²=2．
故圆C的方程为x²+y²=2．
（2）由题意可知，直线PA和直线PB的斜率存在且互为相反数，
故可设PA所在的直线方程为y-1=k（x-1），PB所在的直线方程为y-1=-k（x-1）．
由

y-1=k(x-1) x2+y2=2

消去y，并整理得：（k²+1）x²+2k（1-k）x+（1-k）²-2=0．①
设A（x₁，y₁），又已知P（1，1），则x₁、1为方程①的两相异实数根，由根与系数的关系得
 x1=

k2-2k-1

k2+1

．同理，若设点B（x₂，y₂），则可得x2=

k2+2k-1

k2+1

．
于是kAB=

y1-y2

x1-x2

=

k(x1-1)+k(x2-1)

x1-x2

=

k(x1+x2)-2k

x1-x2

=1．
而直线OP的斜率也是1，且两直线不重合，因此，直线OP与AB平行．

点评：本题考查求一个圆关于直线的对称圆的方程的方法，直线和圆相交的性质，判断两直线平行的方法，注意当两直线斜率相等时，要检验在纵轴上的截距不相等，才能判断这两直线平行．