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在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD与底面ABCD垂直,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB于点F
(Ⅰ)证明PA∥平面EBD.
(Ⅱ)证明PB⊥平面EFD.
(Ⅲ)求二面角P-DE-F的余弦值.

证明:(Ⅰ)建立如图所示的空间坐标系.
设底面正方形的边长是a.
连接AC,BD相交于G连EG
…(2分)
依题意得:A(a,0,0),P(0,0,a),E
由于底面ABCD是正方形,故G(

即PA∥EG,EG?平面EDB,PA?平面EDB
故PA∥平面EBD.…(6分)
(Ⅱ)依题意得:B(a,a,0),


由已知EF⊥PB
故,PB⊥平面EFD …(10分)
(Ⅲ)由题意知平面PDC的法向量
由(Ⅱ)知平面PDC的法向量
∴二面角P-DE-F的余弦值是.…(14分)
分析:(I)以D为坐标原点,DA,DC,DP方向分别为x,y,z轴正方向建立空间坐标系,连接P与底面ABCD的中心G点,分别求出向量的坐标,易判断两个向量平行,进而根据线面平行的判定定理得到PA∥平面EBD.
(Ⅱ)分别求出向量的坐标,根据两个向量数量积等0,可得PB⊥DE,结合已知中EF⊥PB及线面垂直的判定定理可得PB⊥平面EFD.
(Ⅲ)分别求出平面PDE与平面DEF的法向量,代入向量夹角公式,即可得到二面角P-DE-F的余弦值.
点评:本题考查的知识点是二面角的平面角的求法,直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定,解答的关键是建立空间坐标系,将线线平行,线线垂直及面面夹角问题转化为向量平行、垂直及夹角问题.
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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,在四棱锥P-ABCD中,底面为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC=2,M,N分别为PC、PB的中点.
(1)求证:PB⊥DM;
(2)求BD与平面ADMN所成角的大小;
(3)求二面角B-PC-D的大小.

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科目:高中数学 来源: 题型:

如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=4.AB=2,AN⊥PC于点N,M是PD中点.
(1)用空间向量证明:AM⊥MC,平面ABM⊥平面PCD.
(2)求直线CD与平面ACM所成的角的正弦值.
(3)求点N到平面ACM的距离.

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如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,O为底面中心,PA⊥平面ABCD,PA=AD=2AB.M是PD的中点
(1)求证:直线MO∥平面PAB;
(2)求证:平面PCD⊥平面ABM.

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科目:高中数学 来源: 题型:

如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,已知AB=3,AD=2,PA=2,PD=2
2
,∠PAB=60°.
(1)求证:AD⊥平面PAB;
(2)求二面角A-PB-D的余弦值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2009•成都模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,且PD⊥平面ABCD,PD=AB=1,EF分别是PB、AD的中点,
(I)证明:EF∥平面PCD;
(Ⅱ)求二面角B-CE-F的大小.

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