Question

设函数f（x）=ax²-lnx，其中a＞

1

2

．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）设f（x）的最小值为g（a），证明函数g（x）没有零点．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）先求出函数的导数，解关于导函数的不等式，解出即可；（2）由g（a）=f（x）_min=f（

1

2a

）=

1

4a

-ln

1

2a

，通过a的范围，从而得出答案．

解答： 解：（1）∵f′（x）=2ax-

1

x

=

2ax2-1

x

，
令f′（x）＞0，解得：x＞

1 2a

，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜

1 2a

，
∴f（x）在（0，

1 2a

）递减，在（

1 2a

，+∞）递增；
（2）由（1）得：g（a）=f（x）_min=f（

1 2a

）=a•

1

2a

-ln

1 2a

=

1

2

（1+ln2a），
∵a＞

1

2

，∴ln2a＞0，∴g（a）＞0，
∴函数g（x）没有零点．

点评：本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查了导数的应用，是一道基础题．