Question

(1)已知数列｛c_n｝，其中c_n＝2ⁿ＋3ⁿ，且数列｛c_n+1-pc_n｝为等比数列，求常数p;

(2)设｛a_n｝｛b_n｝是公比不相等的两个等比数列，c_n=a_n+b_n,证明数列｛c_n｝不是等比数列.

Answer 1

解：（1）因为｛c_n+1-pc_n｝是等比数列，故有

(c_n+1-pc_n)²＝（c_n+2－pc_n+1）（c_n－pc_n-1）.

将c_n＝2ⁿ＋3ⁿ代入上式，得

［2ⁿ⁺¹＋3ⁿ⁺¹-p（2ⁿ＋3ⁿ）］²

＝［2ⁿ⁺²＋3ⁿ⁺²-p（2ⁿ⁺¹＋3ⁿ⁺¹）］·［2ⁿ＋3^n-p（2^n-1＋3^n-1）］,

即［（2-p）2ⁿ+（3-p）3ⁿ］²

＝［（2-p）2ⁿ⁺¹+（3-p）3ⁿ⁺¹］［（2-p）2^n-1+（3-p）3^n-1］.

整理得(2-p)(3-p)·2ⁿ·3ⁿ=0.

解得p=2或p=3.

(2)设｛a_n｝｛b_n｝的公比分别为p、q，p≠q,c_n=a_n+b_n.

为证｛c_n｝不是等比数列，只需证

c₂²≠c₁·c₃.

事实上，c₂²＝（a₁p＋b₁q）²

＝a₁²p²＋b₁²q²＋2a₁b₁pq，

c₁·c₃＝（a₁＋b₁）（a₁p²＋b₁q²）＝a₁²p²＋b₁²q²＋a₁b₁（p²＋q²）,

由于p≠q，p²＋q²＞2pq，又a₁、b₁不为零，

因此c₂²≠c₁·c₃，故｛c_n｝不是等比数列.