【题目】定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足f(2x)=x2-2x.
(Ⅰ)求函数y=f(x)的解析式;
(Ⅱ)若关于x的方程f(x)=在(1,4)上有实根,求实数a的取值范围.
【答案】(Ⅰ)f(x)=(log2x)2-2log2x,x>0(Ⅱ)-≤a<-
【解析】
(Ⅰ)令t=2x,则x=log2t,代入函数f(x),即可得到所求解析式;
(Ⅱ)运用配方,求得函数f(x)的值域,再由分式不等式的解法,可得所求范围.
解:(Ⅰ)令t=2x,则x=log2t,
由f(2x)=x2-2x得f(t)=(log2t)2-2log2t,
即f(x)=(log2x)2-2log2x,x>0;
(Ⅱ)f(x)=(log2x)2-2log2x=(log2x-1)2-1=,
由x∈(1,4),可得log2x∈(0,2),(log2x-1)2-1∈[-1,0),
即-1≤<0,
即为≥0且a>5或a<-,
解得-≤a<-.
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【题目】已知正三棱柱的正(主)视图和侧(左)视图如图所示,设,的中心分别为, ,现将此三棱柱绕直线旋转,射线旋转所成角为弧度(可以取到任意一个实数),对应的俯视图的面积为,则函数的最大值为__________,最小正周期为__________.
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【题目】某高三毕业班甲、乙两名同学在连续的8次数学周练中,统计解答题失分的茎叶图如下:
(1)比较这两名同学8次周练解答题失分的均值和方差的大小,并判断哪位同学做解答题相对稳定些;
(2)以上述数据统计甲、乙两名同学失分超过15分的频率作为频率,假设甲、乙两名同学在同一次周练中失分多少互不影响,预测在接下来的2次周练中,甲、乙两名同学失分均超过15分的次数X的分布列和均值.
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【题目】设是两条不同的直线, 是三个不同的平面,给出下列四个命题:
①若,则 ②若,则
③若,则 ④若,则
其中正确命题的序号是( )
A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ①和④
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【题目】数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半这条直线被后人称之为三角形的欧拉线若的顶点,,且的欧拉线的方程为,则顶点C的坐标为
A. B. C. D.
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【题目】如图,在圆锥PO中,已知,圆O的直径,C是弧AB的中点,D为AC的中点.
(1)求异面直线PD和BC所成的角的正切值;
(2)求直线OC和平面PAC所成角的正弦值.
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【题目】已知函数f(x)=(a+1)lnx+ x2(a<﹣1)对任意的x1、x2>0,恒有|f(x1)﹣f(x2)|≥4|x1﹣x2|,则a的取值范围为 .
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