Question

已知向量

a

=(cos

3x

4

．sin

3x

4

)，

b

=(cos(

x

4

+

π

3

)，-sin(

x

4

+

π

3

))；令f（x）=

a

•

b

，
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的单调递增区间；
（3）若x∈[-

π

6

，

5π

6

]，求函数f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,平面向量数量积的运算,正弦函数的单调性

专题：计算题,三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（1）由平面向量的数量积的坐标表示，和两角和的余弦公式，即可得到；
（2）运用余弦函数的单调增区间，解不等式即可得到；
（3）由x的范围，求得x+

π

3

的范围，再由余弦函数的性质，即可得到所求的最值．

解答： 解；（1）由于f（x）=

a

•

b

，
向量

a

=(cos

3x

4

．sin

3x

4

)，

b

=(cos(

x

4

+

π

3

)，-sin(

x

4

+

π

3

))，
则f(x)=cos

3x

4

cos(

x

4

+

π

3

)-sin

3x

4

sin(

x

4

+

π

3

)=cos(x+

π

3

)；
（2）当2kπ-π≤x+

π

3

≤2kπ，即2kπ-

4π

3

≤x≤2kπ-

π

3

，k∈Z时，f（x）单调递增；
则f（x）的单调递增区间为：[2kπ-

4π

3

，2kπ-

π

3

]，k∈Z；
（3）由x∈[-

π

6

，

5π

6

]得x+

π

3

∈[

π

6

，

7π

6

]，-1≤cos(x+

π

3

)≤

3

2

，
当x=-

π

6

时，f(x)max=

3

2

，当x=

2π

3

时f(x)min=-1．

点评：本题考查平面向量的数量积的坐标表示，考查两角和的余弦公式，考查余弦函数的单调性和值域，属于中档题．