Question

已知双曲线的离心率等于2，且与椭圆

x2

25

+

y2

9

=1有相同的焦点，
（1）求椭圆的离心率；   
（2）求此双曲线方程．

Answer 1

分析：（1）由椭圆的性质，可得椭圆

x2

25

+

y2

9

=1的a₁=5，b₁=3，根据c=

a2-b2

求出c，即可得出椭圆的离心率

c

a

，
（2）由椭圆的性质，可得椭圆

x2

25

+

y2

9

=1的焦点坐标，设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），则可得c=4，又由双曲线的离心率可得a的值，进而可得b，将a、b的值代入双曲线方程可得答案．

解答：解：（1）椭圆

x2

25

+

y2

9

=1的a₁=5，b₁=3，
∴c=

a2-b2

=4，
得出椭圆的离心率e=

4

5

．
（2）∵椭圆

x2

25

+

y2

9

=1的焦点坐标为（-4，0）和（4，0），
则可设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），
∵c=4，又双曲线的离心率等于2，即

c

a

=2，
∴a=2．
∴b²=c²-a²=12；
故所求双曲线方程为

x2

4

-

y2

12

=1．

点评：本题考查双曲线的标准方程以及椭圆的简单几何性质，注意区分并记忆椭圆、双曲线的几何性质及标准方程的形式．