Question

已知函数f(x)=

1 3 (x=3) 1 |x-3| (x≠3)

，若关于x的方程f（x）=m，（m∈R）恰有3个不同的实根x₁，x₂，x₃，则数据x₁，x₂，x₃的标准差为

6

．

Answer 1

分析：如图所示．分别作出函数f(x)=

1 3 (x=3) 1 |x-3| (x≠3)

，和函数y=m，（m∈R）的图象，由于关于x的方程f（x）=m，（m∈R）恰有3个不同的实根x₁，x₂，x₃，可知：只有m=

1

3

，两个函数的图象才有3个不同的交点，进而求出即可．

解答：解：如图所示．分别作出函数f(x)=

1 3 (x=3) 1 |x-3| (x≠3)

，和函数y=m，（m∈R）的图象，
∵关于x的方程f（x）=m，（m∈R）恰有3个不同的实根x₁，x₂，x₃，
不妨设x₁＜x₂＜x₃．
∴只有m=

1

3

，两个函数的图象才有3个不同的交点，∴x₂=3．
令

1

|x-3|

=

1

3

，解得x=0或6，∴x₁=0，x₃=6．
∴三个实根x₁，x₂，x₃，的平均数为

0+3+6

3

=3．
∴数据x₁，x₂，x₃的方差=

1

3

[(0-3)2+(3-3)2+(6-3)2]=6．
∴数据x₁，x₂，x₃的标准差为

6

．
故答案为

6

．

点评：本题考查了函数的零点问题转化为函数图象的交点、数形结合、图象变换等基础知识与基本技能方法，属于难题．