Question

【题目】已知函数
（1）设a＞1，试讨论f（x）单调性；
（2）设g（x）=x2﹣2bx+4，当 时，任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），求实数b的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），

= ，

令f'（x）=0，则x1=1， （a＞1，x2＜0）舍去．

令f'（x）＞0，则x＞1，令f'（x）＜0，则0＜x＜1，

所以当x∈（1，+∞）时，函数f（x）单调递增；当x∈（0，1）时，函数f（x）单调递减

（2）解：当 时，

由（1）可知f'（x）=0的两根分别为x1=1，

令f'（x）＞0，则0＜x＜1或x＞3，令f'（x）＜0，则1＜x＜3

可知函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增，

所以对任意的x1∈（0，2），有 ，

由条件知存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），

所以 即存在x2∈[1，2]，使得 ，

分离参数即得到 在x∈[1，2]时有解，

由于 （x∈[1，2]）为减函数，故其最小值为 ，

从而 ，所以实数b的取值范围是

【解析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）根据函数的单调性得到f（x1）≥f（1）=﹣ ，问题转化为存在x2∈[1，2]，使得 ，分离参数即得到 在x∈[1，2]时有解，求出b的范围即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．