Question

椭圆的两个焦点F₁、F₂，点P在椭圆C上，且P F₁⊥F₁F₂，| P F₁|=，| P F₂|=。
（I）求椭圆C的方程；
（II）若直线L过圆x²+y²+4x-2y=0的圆心M交椭圆于A、B两点，且A、B关于点M对称，求直线L的方程。

Answer 1

(Ⅰ) ＝1. (Ⅱ) 8x－9y+25="0."

本试题主要考查了椭圆方程的求解直线与椭圆的位置关系的运用。
（1）)因为点P在椭圆C上，所以，a=3.
在Rt△PF₁F₂中，故椭圆的半焦距c=,
从而b²=a²－c²=4,所以椭圆C的方程为＝1.
（2）已知圆的方程为（x+2）²+(y－1)²=5,所以圆心M的坐标为（－2，1）.
设A，B的坐标分别为（x₁,y₁）,(x₂,y₂).由题意x₁x₂且
①        ②
点差法得到结论。
解法一：(Ⅰ)因为点P在椭圆C上，所以，a=3.
在Rt△PF₁F₂中，故椭圆的半焦距c=,
从而b²=a²－c²=4,所以椭圆C的方程为＝1.
(Ⅱ)设A，B的坐标分别为（x₁,y₁）、（x₂,y₂）.  由圆的方程为（x+2）²+(y－1)²=5,所以圆心M的坐标为（－2，1）.  从而可设直线l的方程为   y=k(x+2)+1,
代入椭圆C的方程得 （4+9k²）x²+(36k²+18k)x+36k²+36k－27=0.
因为A，B关于点M对称.  所以  解得，
所以直线l的方程为  即8x-9y+25=0.   (经检验，符合题意)
解法二：(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)已知圆的方程为（x+2）²+(y－1)²=5,所以圆心M的坐标为（－2，1）.
设A，B的坐标分别为（x₁,y₁）,(x₂,y₂).由题意x₁x₂且
①        ②
由①－②得            ③
因为A、B关于点M对称，所以x₁+ x₂=－4, y₁+ y₂=2,
代入③得＝，即直线l的斜率为，
所以直线l的方程为y－1＝（x+2），即8x－9y+25=0.(经检验，所求直线方程符合题意.)