【题目】已知函数, ,其中…是然对数底数.
(1)若函数有两个不同的极值点, ,求实数的取值范围;
(2)当时,求使不等式在一切实数上恒成立的最大正整数.
【答案】(1);(2)14
【解析】试题分析:(1)函数有两个不同的极值点, 得, 有两个不同的根,对分类讨论:当时,可得在上递减,不合题意, ,函数在上递减,在上递增,只需,解出即可得出结果;(2)当时,由题意可得:不等式对题意恒成立,令,令得,利用单调性可得,整理得,再研究其单调性即可得出.
试题解析:(1)f′(x)=λex﹣2x,据题意得f′(x)=λex﹣2x=0有两个不同的根x1,x2,当λ≤0时,f′(x)=λex﹣2x≤0,因此f(x)在R上递减,不合题意,∴λ>0,又f″(x)=λex﹣2,令f″(x)=0,解得,∴函数f′(x)=λex﹣2x在上递减,在上递增,∴f′(x)=λex﹣2x=0有两个不同的根,则,即,,解得.
(2)当λ=1时,求使不等式f(x)>g(x)在一切实数上恒成立,即不等式对任意x恒成立,令,∴,令h′(x)=0得,∴函数h(x)在上递减,在上递增,∴,整理得.令,易得(μ)在(2,+∞)上递减,若μ=2e2∈(14,15),(2e2)=15﹣2e2>0,若μ=15,,所以满足条件的最大整数μ=14.
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【题目】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费(单位:千元)对年销售量(单位: )和年利润(单位:千元)的影响.对近8年的年宣传费和年销售量数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.
表中.
(1)根据散点图判断与哪一个适宜作为年销售量关于年宣传费的回归类型?(给出判断即可,不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立关于的回归方程;
(3)已知这种产品的利润与的的关系为.根据(2)的结果回答下列问题:
(ⅰ)年宣传费时,年销售量及年利润的预报值是多少?
(ⅱ)年宣传费为何值时,年利润的预报值最大?
附:对于一组数据,其回归直线的的斜率和截距的最小二乘估计为.
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【题目】已知函数f(x)=4cosωxsin(ωx+ )+a(ω>0)图象上最高点的纵坐标为2,且图象上相邻两个最高点的距离为π. (Ⅰ)求a和ω的值;
(Ⅱ)求函数f(x)在[0,π]上的单调递减区间.
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【题目】函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|< )的图象如图所示,为了得到g(x)=sinωx的图象,则只要将f(x)的图象( )
A.向左平移 个单位长度
B.向右平移 个单位长度
C.向右平移 个单位长度
D.向左平移 个单位长度
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【题目】已知数列{an}是首项为正数的等差数列,a1a2=3,a2a3=15.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=(an+1)2 ,求数列{bn}的前n项和Tn .
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【题目】某公司研发出一款产品,批量生产前先在某城市销售30天进行市场调查.调查结果发现:日销量与天数的对应关系服从图①所示的函数关系:每件产品的销售利润与天数的对应关系服从图②所示的函数关系.图①由抛物线的一部分(为抛物线顶点)和线段组成.
(Ⅰ)设该产品的日销售利润 ,分别求出, , 的解析式,
(Ⅱ)若在30天的销售中,日销售利润至少有一天超过8500元,则可以投入批量生产,该产品是否可以投入批量生产,请说明理由.
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【题目】如图某综艺节目现场设有A,B,C,D四个观众席,现有由5不同颜色的马甲可供现场观众选择,同一观众席上的马甲的颜色相同,相邻观众席上的马甲的颜色不相同,则不同的安排方法种数为 .
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【题目】已知f(x)= x3﹣x2+ax+m,其中a>0,如果存在实数t,使f′(t)<0,则f′(t+2)f′( )的值( )
A.必为正数
B.必为负数
C.必为非负
D.必为非正
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