Question

（2008•盐城一模）已知函数f（x）的导数f′（x）=a（x+1）（x-a），若f（x）在x=a处取到极大值，则a的取值范围是

（-1，0）

．

Answer 1

分析：讨论a的正负，以及a与-1的大小，分别判定在x=a处的导数符号，从而确定是否在x=a处取到极大值，从而求出所求．

解答：解：（1）当a＞0时，
当-1＜x＜a时，f′（x）＜0，当x＞a时，f′（x）＞0，
则f（x）在x=a处取到极小值，不符合题意；
（2）当a=0时，函数f（x）无极值，不符合题意；
（3）当-1＜a＜0时，
当-1＜x＜a时，f′（x）＞0，当x＞a时，f′（x）＜0，
则f（x）在x=a处取到极大值，符合题意；
（4）当a=-1时，f′（x）≤0，函数f（x）无极值，不符合题意；
（5）当a＜-1时，
当x＜a时，f′（x）＜0，当a＜x＜-1时，f′（x）＞0，
则f（x）在x=a处取到极小值，不符合题意；
综上所述-1＜a＜0，
故答案为 （-1，0）．

点评：本题主要考查了函数在某点取得极值的条件，解题的关键是分类讨论的数学思想，属于中档题．