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【题目】如图,在正方形ABCD中,点E,F分别是AB,BC的中点.将△AED,△DCF分别沿DE,DF折起,使A,C两点重合于P.

(1)求证:平面PBD⊥平面BFDE;
(2)求二面角P﹣DE﹣F的余弦值.

【答案】
(1)证明:由正方形ABCD知,∠DCF=∠DAE=90°,EF∥AC,BD⊥AC,EF⊥BD,

∵点E,F分别是AB,BC的中点.将△AED,△DCF分别沿DE,DF折起,使A,C两点重合于P.

∴PD⊥PF,PD⊥PE,

∵PE∩PF=P,PE、PF平面PEF.

∴PD⊥平面PEF.

又∵EF平面PEF,

∴PD⊥EF,又BD∩PD=D,

∴EF⊥平面PBD,

又EF平面BFDE,∴平面PBD⊥平面BFDE


(2)解:连结BD、EF,交于点O,以O为原点,OF为x轴,OD为y轴,OP为z轴,建立空间直角坐标系,

设在正方形ABCD的边长为2,则DO= = ,PE=PF=1,PO= =

∴P(0,0, ),D(0, ,0),E(﹣ ,0,0),F( ,0,0),

=(﹣ ,﹣ ,0), =(0,﹣ ), =( ,﹣ ,0),

设平面PDE的法向量 =(x,y,z),

,取y=1,则 =(﹣3, ,3),

平面DEF的法向量 =(0,0,1),

设二面角P﹣DE﹣F的平面角为θ,

则cosθ= = =

∴二面角P﹣DE﹣F的余弦值为


【解析】(1)推导出PD⊥PF,PD⊥PE,则PD⊥平面PEF,由此能证明平面PBD⊥平面BFDE.(2)连结BD、EF,交于点O,以O为原点,OF为x轴,OD为y轴,OP为z轴,建立空间直角坐标系,由此能求出二面角P﹣DE﹣F的余弦值.

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