Question

5．如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中．
（1）求A₁B与平面AA₁D₁D所成的角；
（2）求A₁B与平面BB₁D₁D所成的角．

Answer 1

分析 （1）由AB⊥平面AA₁D₁D，垂足为A，得∠AA₁B是A₁B与平面AA₁D₁D所成的角，由此能求出A₁B与平面AA₁D₁D所成的角的大小．
（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出A₁B与平面BB₁D₁D所成的角的大小．

解答 解：（1）在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵AB⊥平面AA₁D₁D，垂足为A，
∴∠AA₁B是A₁B与平面AA₁D₁D所成的角，
∵AA₁=AB，AA₁⊥AB，
∴∠AA₁B=45°，
∴A₁B与平面AA₁D₁D所成的角为45°．
（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱长为1，
则A₁（1，0，1），B（1，1，0），D（0，0，0），D₁（0，0，1），
$\overrightarrow{B{A}_{1}}$=（0，1，-1），$\overrightarrow{D{D}_{1}}$=（0，0，1），$\overrightarrow{DB}$=（1，1，0），
设平面DBD₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{D}_{1}}=z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=x+y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，0），
设A₁B与平面BB₁D₁D所成的角为θ，
则sinθ=|cos＜$\overrightarrow{B{A}_{1}}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{B{A}_{1}}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{B{A}_{1}}|•|\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{-1}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}$|=$\frac{1}{2}$，
∴θ=30°，
∴A₁B与平面BB₁D₁D所成的角为30°．

点评 本题考查线面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．