Question

如图，棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四边形AA₁B₁B是菱形，四边形BCC₁B₁是矩形，AB⊥BC，CB=1，AB=2，∠A₁AB=60°．
（1）求证：平面CA₁B⊥平面A₁ABB₁；
（2）求B₁C₁到平面A₁CB的距离；
（3）求直线A₁C与平面BCC₁B₁所成角的正切值．

Answer 1

（1）证明：∵四边形BCC₁B₁是矩形，AB⊥BC
∴AB⊥BC，BC⊥BB₁，AB∩BB₁=B
∴CB⊥平面A₁ABB₁
∵CB∈平面CA₁B
∴平面CA₁B⊥平面A₁ABB₁
（2）依题意的：A₁B=2，AB₁=2

3

，B₁C=

5

，A₁C=

5

∵B₁C₁∥BC，B₁C₁?平面A₁CB，BC?平面A₁CB
∴B₁C₁∥平面A₁CB
则B₁C₁到平面A₁CB的距离等于点C₁到平面A₁CB的距离为 H′
∵△A₁CB的面积S₁=1
∵AB₁⊥A₁B，CB⊥AB₁
∴AB₁⊥平面A₁CB
∴三棱锥C₁-A₁CB的体积等于三棱锥B₁-A₁CB的体积
∴H′=

1

2

AB₁=

3

即B₁C₁到平面A₁CB的距离等于

3

（3）设A₁到平面BCC₁B₁的距离为H
∴平行四边形BCC₁B₁的面积S=2，
则△A₁B₁C₁的面积为1，BB₁=2．
由棱锥A₁-B1BC1的体积等于棱锥B-A₁B₁C₁的体积，
得：H=

2

∴sinθ=

2

5

∴直线A₁C与平面BCC₁B₁所成角的正切值 tanθ=

6

2