Question

给出下列命题
①若命题P和命题Q中只有一个是真命题，则?P或Q是假命题；
②α≠

π

6

或β≠

π

6

是cos(α+β)≠

1

2

成立的必要不充分条件；
③若定义在R上的函数y=f（x）满足f（x+1）=1-f（x），则f（x）是周期函数；
④若

lim

n→∞

[1+(

r

1+r

)n]=1，则r的取值范围是r＞-

1

2

．
其中所有正确命题的序号是

②③④

．

Answer 1

分析：若命题P是假命题，命题Q是真命题，则￢P或Q是真命题；若α=

π

6

，且β=

π

6

⇒cos（α+β）=

1

2

，所以cos(α+β)≠

1

2

⇒α≠

π

6

或β≠

π

6

；由f（x+1）=1-f（x），知f（x+2）=1-f（x+1）=1-[1-f（x）]=f（x），故f（x）是周期函数；由

lim

n→∞

[1+(

r

1+r

)n]=1，知|

r

1+r

|＜1，解得r＞-

1

2

．

解答：解：若命题P是假命题，命题Q是真命题，则￢P或Q是真命题，故①不正确；
∵若α=

π

6

，且β=

π

6

⇒cos（α+β）=

1

2

，
∴cos(α+β)≠

1

2

⇒α≠

π

6

或β≠

π

6

，
所以α≠

π

6

或β≠

π

6

是cos(α+β)≠

1

2

成立的必要不充分条件，故②正确；
∵f（x+1）=1-f（x），
∴f（x+2）=1-f（x+1）=1-[1-f（x）]=f（x），
∴若定义在R上的函数y=f（x）满足f（x+1）=1-f（x），
则f（x）是周期函数，故③正确；
∵

lim

n→∞

[1+(

r

1+r

)n]=1，
∴|

r

1+r

|＜1，解得r＞-

1

2

，故④成立．
故答案为：②③④．

点评：本题考查命题的真假判断，是基础题．解题时要认真审题，注意复合命题、三角函数、周期函数、极限等知识点的灵活运用．