Question

【题目】已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，F为椭圆C的右焦点，A是右准线与x轴的交点，且AF＝1．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过椭圆C上顶点B的直线l交椭圆另一点D，交x轴于点M，若，求直线l的方程；

（3）设点，过点F且斜率不为零的直线m与椭圆C交于S，T两点，直线TQ与直线x＝2交于点S1，试问是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2），或；（3）定值为0，理由见解析

【解析】

（1）由，得到，再由离心率，即可求出、和，然后写出椭圆方程即可；

（2）由点坐标设直线方程，求出点坐标，再由直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理，求解出点横坐标，再根据，求出，即可得到直线的方程；

（3）设直线的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，表示出和；再利用点和点设直线方程，求出点，即可求出为定值.

（1）由题意，椭圆右准线方程：，点，焦点，

因为，所以，又，

解得，，，所以，

所以椭圆方程为：；

（2）由（1）知，点，所以设直线方程：，

时，，所以点，

直线方程代入椭圆方程并整理得，，

设点，由韦达定理，，

，，

又，所以，解得，

所以直线：，或；

（3）由（1）知，点，点，所以设直线：，

代入椭圆方程并整理得，，

设点，点，

由韦达定理，，，

所以，

设直线：，

当时，，

又，，

所以点，，，

，即为定值，定值为.