Question

设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数k使得对于任意x∈D，有f（x+k）≥f（x），则称f（x）为D上的“k调函数”．如果定义域是[-1，+∞）的函数f（x）=x²为[-1，+∞）上的“k调函数”，那么实数k的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：计算题,新定义

分析：根据题意可知在[-1，+∞）上的任意x（设x=x+k）有y≥-1恒成立，推断出k≥-1-x恒成立，进而根据x的范围可推知-1-x最大为0，判断出m的范围，进而根据f（x+k）≥f（x），求得（x+k）²≥x²，化简求得k≥-2x恒成立，进而根据x的范围确定-2x的范围，进而求得k的范围．

解答： 解：在[-1，+∞）上的任意x（设x=x+k）有y≥-1恒成立，则x+k≥-1恒成立，即k≥-1-x恒成立．
对于x∈[-1，+∞），当x=-1时-1-x最大为0，所以有k≥0．
又因为f（x+k）≥f（x），即（x+k）²≥x²在x∈[-1，+∝）上恒成立，化简得k²+2kx≥0，又因为k≥0，所以k+2x≥0即k≥-2x恒成立，当x=-1时-2x最大为2，所以k≥2
综上可知k≥2．
故答案为：k≥2．

点评：本题主要考查了抽象函数极其应用．考查了学生分析问题和解决问题的能力，属于中档题．