Question

16．函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2ax+4a（x＜1）}\\{（a-3）x+4a（x≥1）}\end{array}\right.$，满足对任意x₁≠x₂，都有 $\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0成立，则a的取值范围是（　　）

• A． （0，$\frac{3}{4}$）
• B． （0，$\frac{3}{4}$]
• C． （0，1）
• D． [1，$\frac{4}{3}$]

Answer 1

分析 根据题中条件，可以先判断出函数f（x）在R上单调递减，再结合分段函数的解析式，要每一段都是减函数，且分界点时左段函数的函数值要大于等于右段函数的函数值，列出不等关系，求解即可得到a的取值范围．

解答 解：∵对任意x₁≠x₂，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0成立，
∴x₁-x₂与f（x₁）-f（x₂）异号，
根据函数单调性的定义，可知f（x）在R上是单调递减函数，
∴当x≥1时，f（x）=（a-3）x+4a为减函数，则a-3＜0，即a＜3，①
且当x=1时，有最大值[（a-3）x+4a]_max=5a-3；
当x＜1时，f（x）=x²-2ax+4a为二次函数，图象开口向上，对称轴为x=a，
若f（x）在（-∞，1）上为减函数，则对称轴在区间右侧，即a≥1，②
且（x²-2ax+4a）_min＞f（1）=1+2a；
又由题意，函数在定义域R上单调递减，
则（x²-2ax+4a）_min≥[（a-3）x+4a]_max，
即1+2a≥5a-3，解得a≤$\frac{4}{3}$；③
综合①②③可得a的取值范围：1≤a≤$\frac{4}{3}$，
故选：D．

点评 本题考查了函数单调性的判断与证明，注意一般单调性的证明选用定义法证明，证明的步骤是：设值，作差，化简，定号，下结论．对于分段函数的问题，一般选用分类讨论和数形结合的思想方法进行求解．注意解题方法的积累，属于中档题．