Question

已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的对边，且满足2asinB-

3

b=0．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）当A为锐角时，求函数y=

3

sinB+sin（C-

π

6

）的最大值．

Answer 1

分析：（I）根据正弦定理，将已知等式化简可得sinA=

3

2

，结合A∈（0，π），得A=

π

3

或A=

2π

3

；
（II） 由（I） 的结论得A=

π

3

，从而得出B+C=

2π

3

，由此将C=

2π

3

-B代入化简，得y=

3

sinB+sin（C-

π

6

）=2sin（B+

π

6

），根据正弦函数的图象与性质，并结合0＜B＜

2π

3

可得函数y=

3

sinB+sin（C-

π

6

）的最大值．

解答：解：（Ⅰ）∵2asinB-

3

b=0 
∴由正弦定理，得：2sinAsinB=

3

sinB，
∵B为三角形内角，可得sinB＞0…（3分）
∴2sinA=

3

，得到sinA=

3

2

…（5分）
∵A∈（0，π），∴A=

π

3

或A=

2π

3

           …（7分）
（Ⅱ）∵A为锐角，∴结合（I）的结论可得A=

π

3

因此，B+C=π-A=

2π

3

，可得：0＜B＜

2π

3

，…（9分）
将C=

2π

3

-B代入，得
y=

3

sinB+sin（C-

π

6

）=

3

sinB+sin（

π

2

-B）
=

3

sinB+cosB=2sin（B+

π

6

）      …（12分）
∵0＜B＜

2π

3

，可得

π

6

＜B+

π

6

＜

5π

6

∴sin（B+

π

6

）∈（

1

2

，1]，得2sin（B+

π

6

）∈（1，2]，
因此，当B=

π

3

时，函数y=

3

sinB+sin（C-

π

6

）的最大值为2        …（14分）

点评：本题给出三角形的边角关系，求A的大小并由此求关于B、C的三角函数式的最大值，着重考查了正、余弦定理及三角函数的图象与性质等知识，同时考查运算求解能力和逻辑思维能力，属于中档题．