Question

19．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sinx+cosx，-cosx），$\overrightarrow{b}$=（sinx+cosx，sinx），f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（Ⅱ）x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{3π}{8}$]时，求函数f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用向量数量积的公式，结合倍角公式进行化简即可求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（Ⅱ）若x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{3π}{8}$]时，求出角2x的取值范围，结合三角函数的单调性即可求函数f（x）的最大值和最小值．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$=（sinx+cosx）²-sinxcosx=1+sinxcosx=1+$\frac{1}{2}$sin2x，
则函数的周期T=$\frac{2π}{2}=π$，
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
得kπ-$\frac{π}{4}$≤x≤kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z，
即函数的单调递增区间为[kπ-$\frac{π}{4}$，kπ+$\frac{π}{4}$]，k∈Z；
（Ⅱ）若x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{3π}{8}$]时，2x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{3π}{4}$]，
此时当2x=$\frac{π}{2}$时，函数取得最大值为y=1+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
当2x=-$\frac{π}{3}$时，函数取得最小值为y=1+$\frac{1}{2}×（-\frac{\sqrt{3}}{2}）$=1-$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题主要考查三角函数的化简和性质的应用，利用向量的数量积公式以及倍角公式进行化简是解决本题的关键．