Question

7．已知函数f（x）=2^x．
（1）解方程f（log₄x）=3；
（2）已知不等式f（x+1）≤f[（2x+a）²]（a＞0）对x∈[0，15]恒成立，求实数a的取值范围；
（3）存在x∈（-∞，0]，使|af（x）-f（2x）|＞1成立，试求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）依题意，f（log₄x）=3?${2}^{{log}_{4}x}$=3，即${2}^{{log}_{2}\sqrt{x}}$=$\sqrt{x}$=3，从而可解得x=9；
（2）利用指数函数y=2^x的单调性可得：f（x+1）≤f[（2x+a）²]⇒x+1≤（2x+a）²，依题意，整理可得a≥（-2x+$\sqrt{x+1}$）_max，x∈[0，15]．利用换元法可解得a的取值范围；
（3）令2^x=t，则存在t∈（0，1）使得|t²-at|＞1，即存在t∈（0，1）使得t²-at＞1或t²-at＜-1，分离参数a，即存在t∈（0，1）使得a＜（t-$\frac{1}{t}$）_max或a＞（t+$\frac{1}{t}$）_min，解之即可；

解答 解：（1）∵f（x）=2^x，
∴f（log₄x）=3?${2}^{{log}_{4}x}$=${2}^{{log}_{2}\sqrt{x}}$=$\sqrt{x}$=3，解得：x=9，
即方程f（log₄x）=3的解为：x=9；
（2）∵f（x）=2^x，为R上的增函数，
∴由f（x+1）≤f[（2x+a）²]（a＞0）对x∈[0，15]恒成立，
得x+1≤（2x+a）²（a＞0）对x∈[0，15]恒成立，
因为a＞0，且x∈[0，15]，所以问题即为$\sqrt{x+1}$≤2x+a恒成立
∴a≥（-2x+$\sqrt{x+1}$）_max，x∈[0，15]．
设m（x）=-2x+$\sqrt{x+1}$，令$\sqrt{x+1}$=t（1≤t≤4），则x=t²-1，t∈[1，4]，
∴m（t）=-2（t²-1）+t=-2（t-$\frac{1}{4}$）²+$\frac{17}{8}$，
所以，当t=1时，m（x）_max=1，
∴a≥1．
（3）令2^x=t，∵x∈（-∞，0]，
∴t∈（0，1），
∴存在x∈（-∞，0]，使|af（x）-f（2x）|＞1成立?存在t∈（0，1）使得|t²-at|＞1，
所以存在t∈（0，1）使得t²-at＞1或t²-at＜-1，
即存在t∈（0，1）使得a＜（t-$\frac{1}{t}$）_max或a＞（t+$\frac{1}{t}$）_min，
∴a≤0或a≥2；

点评 本题考查函数恒成立问题，突出考查指数函数的单调性，闭区间上的最值的求法，考查函数方程思想、等价转化思想、考查换元法、构造法、配方法的综合运用，属于难题．