Question

在一个数列中，如果?n∈N^*，都有a_n•a_n+1•a_n+2=k（k为常数），那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积．已知数列{a_n}是等积数列，且a₁=1，a₂=3，公积为27，则a₁+a₂+a₃+…+a₁₈=

78

．

Answer 1

分析：根据“等积数列”的概念，a₁=1，a₂=3，公积为27，可求得a₃，a₄，…a₁₈，利用数列的求和公式即可求得答案．

解答：解：依题意，数列{a_n}是等积数列，且a₁=1，a₂=3，公积为27，
∴a₁•a₂•a₃=27，即1×3a₃=27，
∴a₃=9．
同理可求a₄=1，a₅=3，a₆=9，…
∴{a_i}是以3为周期的数列，
∴a₁=a₄=…=a₁₆=1，
a₂=a₅=…=a₁₇=3，
a₃=a₆=…=a₁₈=9．
∴a₁+a₂+a₃+…+a₁₈=（1+3+9）×6=78．
故答案为：78．

点评：本题考查数列的求和，求得{a_i}是以3为周期的数列是关键，考查分析观察与运算能力，属于中档题．