Question

A：如图所示，已知AB为⊙O的直径，AC为弦，OD∥BC，交AC于点D，BC=4cm，
（1）试判断OD与AC的关系；
（2）求OD的长；
（3）若2sinA-1=0，求⊙O的直径．
B：（选修4-4）已知直线l经过点P（1，1），倾斜角α=

3π

4

．
（1）写出直线l的参数方程；
（2）设l与圆x²+y²=4相交于两点A、B，求点P到A、B两点的距离之积．

Answer 1

分析：A：（1）根据直径所对的圆周角为直角，以及三角形的中位线定理，可得AC⊥OD；
（2）在△ACB中，BC=4cm且OD是中位线，根据三角形的中位线定理，得OD=

1

2

BC=2cm；
（3）Rt△ADO中，利用正弦的定义结合OD=2cm，得到半径OA=4cm，从而得到⊙O的直径长．
B：（1）根据直线的参数方程关于倾斜角的公式，得参数方程为 

x=1+tcos 3π 4 y=1+tsin 3π 4

（t为参数），再化简整理即可；
（2）将点（1-

2

2

t，1+

2

2

t）代入圆x²+y²=4的方程中，再化简整理得：t²=2，设方程的两个根为 t₁，t₂，根据参数方程中t的几何意义结合一元二次方程根与系数的关系，得到点P到A、B两点的距离之积|t₁||t₂|=|t₁t₂|=2．

解答：解：（A）（1）∵AB为⊙O的直径，
∴∠C=90°，即AC⊥BC，又∵OD∥BC，
∴AC⊥OD…（3分）
（2）∵O为AB中点，OD∥BC
∴OD为△ACB的中位线
∴OD=

1

2

BC=2cm…（6分）
（3）∵2sinA-1=0，∴sinA=

1

2

∴Rt△ADO中，sinA=

OD

OA

=

1

2

，
又∵OD=2cm，
∴OA=4cm，
因为半径等于4cm，所以⊙O的直径是8cm…（10分）
（B）（1）由题意，可得直线的参数方程为 

x=1+tcos 3π 4 y=1+tsin 3π 4

（t为参数）
整理得

x=1- 2 2 t y=1+ 2 2 t

（t为参数）…（3分）
（2）把

x=1- 2 2 t y=1+ 2 2 t

代入圆x²+y²=4的方程中，得(1-

2

2

t)2+(1+

2

2

t)2=4
整理得：t²=2，设方程的两个根为 t₁，t₂，则

t1+t2=0 t1t2=-2

…（7分）
由参数方程中t的几何意义可知|t₁|，|t₂|即为点P到A、B两点的距离，
∴点P到A、B两点的距离之积|t₁||t₂|=|t₁t₂|=2…（10分）

点评：本题第一问给出一个平面几何证明问题，着重考查了圆有关的比例线段和三角函数在直角三角形中的定义；第二问结合直线方程的参数方程形式，着重考查了直线的基本量与基本形式和参数方程中参数的意义等知识点，都属于基础题．